Question

A matriz (4 -1 -7 2) tem inversa. Então o elemento a21 da matriz inversa será

Answer 1

Ao multiplicarmos uma matriz por sua inversa, o resultado será a matriz identidade.

Vamos considerar que a inversa da matriz A seja $A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]$

Sendo $\left[\begin{array}{ccc}4&-1\\-7&2\end{array}\right]$, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}4&-1\\-7&2\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$.

Realizando a multiplicação, obtemos o seguinte sistema:

{4a - c = 1

{4b - d = 0

{-7a + 2c = 0

{-7b + 2d = 1

De 4a - c = 1 podemos dizer que c = 4a - 1. Substituindo o valor de c em -7a + 2c = 0, obtemos:

-7a + 2(4a - 1) = 0

-7a + 8a - 2 = 0

a - 2 = 0

a = 2.

Logo, c = 4.2 - 1 ∴ c = 7.

De 4b - d = 0 podemos dizer que 4b = d. Substituindo o valor de d em -7b + 2d = 1, obtemos:

-7b + 2.4b = 1

-7b + 8b = 1

b = 1.

Logo, 4.1 = d ∴ d = 4.

Assim, temos que: $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\7&4\end{array}\right]$.

Portanto, o elemento que está na segunda linha e primeira coluna é o 7.