A função custo relaciona-se aos gastos de uma loja, uma empresa ou uma indústria, seja na produção ou na compra de um produto. A função custo (C(x)) pode ser representada a partir do custo fixo (Cv) e do custo variável (Cv), por meio da seguinte fórmula: C(x) = Cf + Cv A função receita (R(x)) está ligada ao faturamento bruto, a depender do número de vendas de produtos, expressa por meio da seguinte fórmula: R(x) = p * X Em que p é o preço de mercado e x é a quantidade de produtos vendidos. Por fim, a função lucro (L(x)) diz respeito ao lucro líquido da empresa, sendo obtido a partir da diferença da função receita e da função custo: L(x) = R(x) - C(x) ETAPA 1 Em uma fábrica de peças automotivas, há um custo fixo mensal de R$ 450,00, incluindo impostos, salário de funcionários, conta de água, de luz e entre outros. E, também há um custo variável que depende da quantidade de peças A produzidas, de R$ 42,00. Considerando o valor de mercado de cada peça A de R$ 95,00, então: a) Encontre a função custo (C(x)). B) Encontre a função receita (R(x)). C) Encontre a função lucro (L(x)). ETAPA 2 A função custo mensal de fabricação de uma peça B na fábrica é de C(x) = 2x3 - 8x2 + 98x -1, cujo preço de venda é de p = 100. Sabendo disso: a) Encontre a função lucro. B) Utilize o teste da segunda derivada para determinar a quantidade de peças B que devem ser produzidas e vendidas mensalmente, para que se obtenha o lucro máximo. C)Utilizando o software Geogebra, trace o gráfico da função lucro, e localize o ponto máximo. ETAPA 3 O administrador da fábrica deseja comprar um equipamento capaz de resultar em uma economia de custos operacionais. Tal economia é dada pela função f(x) unidades monetárias por ano, quando o equipamento estiver x anos em uso: f(x) = 1000x + 250. Utilizando uma integral definida, determine: a) A economia de custos operacionais que a compra do equipamento irá resultar nos 3 primeiros anos. B) Após quantos anos o equipamento estará pago, se o mesmo custa R$ 42. 750,00?
Soluções para a tarefa
As respostas serão dadas da seguinte forma:
Etapa 1:
a) A função custo é dada da seguinte forma: C(x) = 450 + 42x.
b) A função receita é dada da seguinte forma: R(x) = 95x.
c) A função lucro é dada da seguinte forma: L(x) = 53x - 450.
Etapa 2:
a) A função lucro é dada da seguinte forma: L(x) = - 2x³ + 8x² - 2x + 1
b) É necessário produzir e vender aproximadamente 3 peças para que se obtenha o lucro máximo.
c) Figura em anexo.
Etapa 3:
a) A economia de custos operacionais será de R$ 5.250,00.
b) Será pago em aproximadamente 9 anos.
Matemática Financeira
A matemática financeira é a aplicação de cálculos matemáticos, a fim de realizar uma organização e um controle financeiro.
Aplicando ao exercício
O exercício nos fornece os seguintes dados:
C(x) = Cf + Cv
R(x) = p * x
L(x) = R(x) - C(x)
Etapa 1:
Foi nos fornecido os seguintes dados:
Cf = R$ 450,00
Cv = R$ 42,00 * x (multiplica por x, pois depende da quantidade produzida)
p = R$ 95,00
a) A função custo será dada da seguinte forma:
C(x) = Cf + Cv
C(x) = 450 + 42x
b) A função receita será dada da seguinte forma:
R(x) = p * x
R(x) = 95x
c) A função lucro será dada da seguinte forma:
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 95x - (450 + 42x)
L(x) = 95x - 450 - 42x
L(x) = 53x - 450
Etapa 2:
Os dados propostos são:
C(x) = 2x³ - 8x² + 98x - 1
p = R$ 100,00
a) A função lucro será dada da seguinte forma:
R(x) = p * x
R(x) = 100x
L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = 100x - (2x³ - 8x² + 98x - 1)
L(x) = 100x - 2x³ + 8x² - 98x + 1
L(x) = - 2x³ + 8x² - 2x + 1
b) Encontrando as derivadas da função:
L(x) = - 2x³ + 8x² - 2x + 1
L'(x) = - 6x² + 16x - 2
L"(x) = - 12x + 16
Encontrando os pontos críticos da função em L'(x) = 0:
- 6x² + 16x - 2 = 0
Δ = 16² - 4 (-6) (-2)
Δ = 256 - 48
Δ = 208
Sabendo que √Δ ≅ 14,42
x' = (-b + √Δ) / 2a
x' = (-16 + 14,42) / -12
x' = 0,13
x" = (-b - √Δ) / 2a
x" = (-16 - 14,42) / -12
x" = 2,54
Verificando os sinais da função nos pontos críticos:
L"(x) = - 12x + 16
L"(0,13) = - 12(0,13) + 16
L"(0,13) = 14,44 > 0 (a função é mínima neste ponto)
L"(2,54) = - 12(2,54) + 16
L"(2,54) = -14,48 < 0 (a função é máxima neste ponto)
É necessário produzir e vender aproximadamente 3 peças para que se obtenha o lucro máximo.
c) Figura em anexo.
Etapa 3:
Os dados fornecidos são:
f(x) = 1000x + 250
a) Tem-se que:
A economia de custos operacionais será de R$ 5.250,00.
b) Aplicando na fórmula da integral, tem-se que:
500x² + 250x = 42.750
500x² + 250x - 42.750 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 250² - 4(500)(- 42.750)
Δ = 85.562.514
x' = (-250 + 9.250) / 1000 = 9
x'' = (-250 - 9.250) / 1000 = -9,5
Será pago em aproximadamente 9 anos.
Entenda mais sobre Matemática Financeira aqui: https://brainly.com.br/tarefa/36649594
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