9) (Mackenzie-SP) Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x + x + (15 - m). Determine o valor de k. (dica o valor que o gráfico cruza o eixo y coincide com o coeficiente c da função quadrática)
Soluções para a tarefa
Resposta:
k é igual a 9
Explicação passo-a-passo:
Dada a função da questão f(x) = x² + mx + (15 - m), a qual chamaremos de Equação 1 (Eq. 1), podemos observar no seu gráfico que parábola tangencia o eixo y, sabemos então que esta função apresenta somente uma raiz real, e como k é dado pelo ponto em y da parábola, k é o c da função, logo, k = 15 - m, a qual vamos chamar de Equação 2 (Eq. 2).
Sabendo que Δ = b² - 4ac, temos que:
Δ = m² - 4 × 1 × (15-m)
m² - 4 × 1 × (15-m) = 0
m² + 4m - 60 = 0
Agora com essa nova equação, vamos descobrir suas raízes reais por meio da Fórmula de Bhaskara:
m = - 4 ± √4² - 4 × 1 × (-60)/2 × 1
m = - 4 ± √16 + 240/2
m = - 4 ± 16/2
m₁ = -4 + 16/2
m₁ = 12/2 = 6
m₂ = -4 - 16/2
m₂ = -20/2 = -10
Agora se substituirmos na (Eq. 1),
f(x) = x² -10x + (15 - (-10))
f(x) = x² -10x + 25
Δ = 10² - 4 × 1 × 25
Δ = 100 - 100
Δ = 0, logo, para m₂ = -10 não há uma raiz real, somente para m₁ = 6
Sabendo disso, precisamos apenas de substituir na (Eq. 2):
k = 15 - 6
k = 9