Question

6.qual será a área máxima do terreno que a professora Aline vai conseguir cerca ????


pergunta 6

A altura máxima h, aproximado, que o atleta alcançou em relação ao chão foi

6. A professora Aline possui um terreno no bairro Morro Doce, em São Paulo, e quer constru
estacionamento. A frente do terreno já está murada. Aline vai construir apenas três muros e o total de a
do terreno é 1. 500 m². Aline fez um orçamento e possui recursos para construir apenas 100 m de mus
conforme mostra a figura.

Qual será a área máxima do terreno que a professora Aline vai conseguir cercar?

Answer 1

Resposta:

1200 m²

Explicação passo-a-passo:

se é 1500 m² podemos por tentativas admitir:

x= 30

y=50 pq 30×50= 1500

ela tem 100 m então pode ser

o terreno dela pode ser:

25×50= 1250 m²

ela vai usar dois lados de 25 m e um lado de 50 m

Answer 2

Levando esta questão para uma análise com uso de ferramentas de nível superior, podemos utilizar os Multiplicadores de Lagrange para determinar a área máxima a ser cercada.

________________________________

Primeiro devemos montar a relação a qual buscado obter o máximo e a relação que é uma condição/vínculo. Pela imagem, sabemos que ela construirá 3 muros de um terreno retângular e como sabemos o perímetro de um retângulo é:

$\sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: P(x) = 2x + 2y \: \: \bullet$

Na imagem, mostra que são apenas 2 muros com medida "x" e 1 muro com medida "y", além disso, fala-se que com os recursos, serão feitos apenas 100m de perímetro de muro, portanto a nossa função perímetro da questão, passa a ser:

$\sf 2x + y = 100 \: \: \to \: \: 2x + y - 100 = 0 \\ \\ \boxed{ \sf g(x,y) =2x + y - 100}$

A nossa outra relação é referente a área que deve ser máxima. Como sabemos a área de um retângulo é dada pela multiplicação da base pela altura, portanto, esta será a outra função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf F(x,y) = x \: . \: y}$

O método dos Multiplicadores de Lagrange nos fornece a seguinte expressão:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \star \: \sf \nabla F = \lambda \: . \: \nabla g \: \star$

Sabemos que o operador nabla é calculado por:

$\boxed{ \sf \nabla = \left( \frac{ \partial }{ \partial x}, \frac{ \partial}{ \partial y} \right) }$

Calculando os gradientes destas funções, temos:

$\sf \nabla F = \left( \frac{ \partial (x.y)}{ \partial x}, \frac{ \partial(x.y)}{ \partial y} \right) \\ \boxed{\sf \nabla F = \left(y, x \right)} \\ \\ \: \sf \nabla g = \left( \frac{ \partial (2x + y - 100)}{ \partial x}, \frac{ \partial(2x + y - 100)}{ \partial y} \right) \\ \boxed{ \sf \nabla g = (2,1)}$

Substituindo essas informações na expressão:

$\sf (y,x) = \lambda \: . \: (2,1) \: \: \to \: \: (y,x) = (2 \lambda,1 \lambda) \\ \begin{cases} \sf x = \lambda \\ \sf y = 2 \lambda \end{cases}$

Mas, sabemos que 2x + y = 100, então:

$\sf 2.( \lambda) + 2 \lambda = 100 \: \: \to \: \: 4 \lambda = 100 \\ \boxed{ \sf\lambda = 25} \\ \\ \sf \begin{cases} \sf x = \lambda \: \: \to \: \: x = 25 \\ \sf y = 2 \lambda \: \: \to \: \:y = 50 \end{cases}$

Como queremos saber a área máxima, então:

$\sf A_{m\acute{a}x} = x \: . \: y \: \: \to \: \: A_{m\acute{a}x} = 25 \: . \: 50 \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf A_{m\acute{a}x} = 1250 \: m {}^{2} }}}$

Espero ter ajudado