Question

5) (UPF) Os lados de um triângulo retângulo, cujo perímetro é 36 cm, estão em PA. A área desse triângulo, em cm2, é:

a) 18
b) 27
c) 42
d) 48
e) 54

Answer 1

• Temos um exercício que envolve triângulo e conhecimento de PA.

O exercício pede a área do triângulo, fornecendo-nos o perímetro e que seus lados estão em P.A.

• O que é uma P.A.?

É uma progressão aritmética. Em resumo, consiste que haverá uma progressão constante, resultado da soma contínua de um termo qualquer X ao números subsequentes. Veja uma PA: 1 + 1 = 2. 2 + 1 = 3. 3 + 1 = 4. 4 + 1 = 5. E assim por diante!

• Como resolver esse exercício?  

Devemos considerar que, se os lados estão em P.A., a hipotenusa será o maior termo dessa progressão. Em seguida, descobriremos o valor de x e, posteriormente, o valor de r (usando o Teorema de Pitágoras). Por fim, acharemos o valor da área usando os dois catetos. Assim, chamaremos:

hipotenusa = ( x + r ). Em que r é a razão da P.A. e x é o termo referência.

cateto₁ = x

cateto₂ = ( x - r )

Como o perímetro é 36, podemos fazer:

( x - r ) + ( x ) + ( x + r ) = 36

3x - r + r = 36

3x = 36

x = 12

Como x é 12, basta substituir na expressão feita e encontraremos o valor dos lados em função de r. Logo:

hipotenusa = ( x + r ) = ( 12 + r )

cateto₁ = x = 12

cateto₂ = ( x - r ) = ( 12 - r )

Agora, precisamos fazer o Teorema de Pitágoras para encontrar o valor de r:

a² = b² + c² , em que "a" é a hipotenusa, e "b" e "c" são os catetos.

( 12 + r )² = ( 12 )² + ( 12 - r )²

12² + 24r + r² = 12² + 12² - 24r + r² , Podemos cortar r² e 12²:

24r = 12² - 24r

48r = 12²

48r = 144

r = 144/48

r = 3

Substituindo r na última expressão, temos:

hipotenusa = ( 12 + r ) = ( 12 + 3 ) = 15

cateto₁ = x = 12

cateto₂ = ( 12 - r ) = ( 12 - 3 ) = 9

Por fim, calcularemos a área do triângulo usando: $\frac{base * altura}{2}$

Base: 12 e Altura: 9

$\frac{12*9}{2}= 6*9 = 54cm^2$

• Qual a resposta?  

E) 54 cm²

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Bons estudos!