Question

4^x+2.14^x=3.49^x

Me ajudeeem

Answer 1

temos a seguinte expressão :

$\displaystyle 4^x +2.14^x = 3.49^x$

vamos começar fatorando, colocando os termos assim :

$(2^2)^x + 2.(2.7)^x = 3.(7^2)^x$

$2^{2x} + 2.2^x.7^x = 3.7^{2x}$

agora vamos dividir dos dois lados por $\displaystyle 7^{2x}$

$\displaystyle \frac{2^{2x}}{7^{2x}} + \frac{2.2^x.7^x}{7^{2x}} = \frac{3.7^{2x}}{7^{2x}}$

$\displaystyle [\frac{2^{x}}{7^{x}}]^2 + 2.[\frac{2^x}{7^{x}}] = 3$

$\displaystyle [\frac{2^{x}}{7^{x}}]^2 + 2.[\frac{2^x}{7^{x}}] -3= 0$

fazendo uma troca de variável.

$\displaystyle \frac{2^x}{7^x} = Y$, logo :

$Y^2 + 2.Y - 3 = 0$

Usando bhaskara :

$\displaystyle Y = \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4.1.(-3)}}{2.1}$

$\displaystyle Y = \frac{-2\pm \sqrt{16}}{2} \to Y = \frac{-2\pm4}{2} \to Y = -1 \pm 2$

então :

$Y' = -1 + 2 \to Y=1$

$Y'' = -1-2 \to Y=-3$

Agora vamos analisar os valores de Y. desfazendo a substituição $\displaystyle \frac{2^x}{7^x} = Y$,

$\displaystyle \frac{2^x}{7^x} = 1 \to \fbox{x = 0 }$

$\displaystyle \frac{2^x}{7^x} = -3$ ( Impossível, já que uma exponencial é sempre positiva)

Portanto :

$\fbox{\displaystyle X = 0 }$