Question

4. Uma criança perde seu balão, que sobe vagarosamente para o céu.
Se o balão tem 20 cm de diâmetro quando a criança o perdeu, qual
é seu diâmetro numa altitude de (a) 1.000 m, (b) 2.000 m e (c) 5.000
m? Admita que o balão é muito flexível e, assim, a tensão superficial
pode ser desprezada.

Answer 1

O balão terá diâmetros de 20,85cm, 21,65cm e de 24,38cm, respectivamente.

a) A pressão externa ao balão vai ser sempre igual à sua pressão interna. A densidade do ar dentro desse balão vai ser:

$p = m/V$

, onde p é a densidade, m a massa do ar contido e V o volume do balão.

Considerando o balão como uma esfera perfeita, o seu volume pode ser calculado por:

$V = \frac{4\pi R^3}{3}$

, onde V é o volume do barão e R o seu raio.

Substituindo esse volume na fórmula da densidade:

$p = \frac{m}{\frac{4\pi R^3}{3} } = \frac{3m}{4\pi R^3}$

Sabemos também que a pressão do ar, de acordo com a altura em relação ao ar, pode ser modelada por:

$p(h) = p_oe^{-hp_og/P_o}$

, onde p é a densidade, po a densidade do ar, Po a pressão no nível do ar, h a  altitude e g a aceleração da gravidade.

Para uma gravidade g = 9,8 m/s², uma densidade do ar de po = 1,229 kg/m³ e uma pressão ao nível do mar de Po = 101,3 kPa, teremos:

$p(h) = p_o e^{-h1,229*9,8/101300} = p_oe^{(-1,189*10^{-4}h)}$

Igualando essa densidade com a fórmula que deduzimos para a densidade do gás anteriormente, vamos ficar com:

$\frac{3m}{4\pi R^3} = p_oe^{(-1,189*10^{-4}h)}\\\\4\pi R^3*p_oe^{(-1,189*10^{-4}h)} = 3m\\\\R^3(h) = \frac{3m}{4\pi *p_oe^{(-1,189*10^{-4}h)}} = \frac{3m}{4\pi p_o} *e^{(1,189*10^{-4}h)}$

Conforme vimos, a densidade inicial do balão, para um diâmetro de 20cm, ou seja, um raio de ro = 20/2 = 10cm = 0,1m, vamos ter:

$p_o = \frac{3m}{4\pi (0,1)^3} \\\\(0,1)^3 = \frac{3m}{4\pi p_o}$

Substituindo essa relação para a fórmula do raio anterior:

$R^3(h) = \frac{3m}{4\pi p_o} *e^{(1,189*10^{-4}h)} = (0,1)^3*e^{(1,189*10^{-4}h)}\\\\R(h) = \sqrt[3]{ (0,1)^3*e^{(1,189*10^{-4}h)}} = \sqrt[3]{(0,1)^3} *\sqrt[3]{ e^{(1,189*10^{-4}h)}} \\\\R(h) = 0,1*e^{(1,189*10^{-4}h)/3} = 0,1*e^{(3,963*10^{-5}h)}$

Considerando o diâmetro equivalente a duas vezes o raio:

$d(h) = 2*R(h) = 2*0,1*e^{(3,963*10^{-5}h)} = 0,2*e^{(3,963*10^{-5}h)}$

Para uma altitude de h = 1 km = 1000m vamos ter um balão com diâmetro de:

$d(1000) = 0,2*e^{(3,963*10^{-5}*1000)} = 0,208m = 20,80cm$

b) Já para uma altitude de h = 2km = 2000m teremos um balão com diâmetro de:

$d(2000) = 0,2*e^{(3,963*10^{-5}*2000)} = 0,2165m = 21,65cm$

c) Por fim, numa altitude de h = 5km = 5000m o balão terá um diâmetro de:

$d(5000) = 0,2*e^{(3,963*10^{-5}*5000)} = 0,2438m = 24,38cm$

Você pode aprender mais sobre Pressão aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18218091

Answer 2

Resposta:

compra outro balão

Explicação:

verdadeeeeeee