4 – (ITA) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A U B) = 8, n (A U C) = 9, n (B U C) = 10, n (A U B U C) = 11 e n ( A ∩ B ∩ C) = 2. Então n (A) + n (B) + n (C) é igual a:
Soluções para a tarefa
• Primeiro podemos afirmar que o número de elementos, sem repetição é claro do conjunto em questão será
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∪ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Pode ser que fique um pouco abstrata essa parte, mas se você pensar usando o Diagrama de Venn vai ficar mais simples. Foram tirados os números que estavam em dois conjuntos ao mesmo tempo, só que com isso foi retirada aquela parte do meio, que tinha que ser contada uma vez, lembrando que na união são contados apenas uma vez os números repetidos, e por isso ela foi somada.
Temos dois valores dessa relação que obtivemos, são elas n(A ∪ B ∪ C) e n(A ∩ B ∩ C). Vamos substitui-los
11 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 2
9 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) (1º Inf.)
• Agora precisamos descobrir o valor de: - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C). Podemos fazer isso a partir dos valores dados no exercício
Para n(A U B) temos que
n(A U B) = n(A) + n(b) - n(A ∩ B)
8 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (i)
Para n(A U C) a mesma coisa
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
9 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (ii)
E para n(B U C)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
10 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (iii)
Se juntarmos os três temos um sistema
8 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
9 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
10 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
Vamos somar tudo
27 = 2n(A) + 2n(B) + 2n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)
27 = 2·[n(A) + n(B) + n(C)] - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) (Última inf.)
• Agora vamos retomar a primeira informação que encontramos e formar um novo sistema junto com a última.
27 = 2·[n(A) + n(B) + n(C)] - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)
9 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C)
Se fizermos a de cima menos a de baixo
18 = n(A) + n(B) + n(C) <---------- essa é a resposta
Bons estudos no Brainly!
Em primeiro lugar, vamos convencionar o seguinte:
(A U B) = A união com B
(A ∩ B) = A intersecção com B
n(A) = número de elementos de A
Para resolver esse exercício você deve saber que:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Como temos que encontrar o valor de n(A) + n(B) + n(C), podemos usar a fórmula acima, colocando os valores que foram dados:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
11 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 2
Mas precisamos descobrir os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C). Então vamos usar o seguinte:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
8 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (i)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
9 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (ii)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
10 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C) (iii)
E se somarmos as três equações (i), (ii) e (iii), temos:
8 + 9 + 10 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(A) + n(C) - n(A ∩ C) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
27 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
27 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) = - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
Mas precisamos descobrir os valores de n(A ∩ B), n(A ∩ C) e n(B ∩ C). Então vamos usar o seguinte:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
8 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) (i)
n(A U C) = n(A) + n(C) - n(A ∩ C)
9 = n(A) + n(C) - n(A ∩ C) (ii)
n(B U C) = n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
10 = n(B) + n(C) - n(B ∩ C) (iii)
E se somarmos as três equações (i), (ii) e (iii), temos:
8 + 9 + 10 = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(A) + n(C) - n(A ∩ C) + n(B) + n(C) - n(B ∩ C)
27 = 2.n(A) + 2.n(B) + 2.n(C) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
27 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) = - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n(A ∩ B)
E veja que o segundo membro é justamente o que estávamos procurando, então vamos colocar isso na equação que estávamos trabalhando:
11 = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) + 27 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C) + 2
11 = n(A) + n(B) + n(C) + 29 - 2.n(A) - 2.n(B) - 2.n(C)
11 = - n(A) - n(B) - n(C) + 29
n(A) + n(B) + n(C) = 29 - 11
n(A) + n(B) + n(C) = 18