Question

38. (UFPR) Se 2x + 2−x = 3, então o valor de 8x + 8−x é: a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 com cálculo por favor

Answer 1

Olá supongo que o exercicio é 

Se $2^x + 2^ {-x} = 3$, então o valor de $8^x + 8^{-x}$

Para achar o valor da segunda equação, tem que elevar o binômio ao cubo, lembrando que para calcular o cubo de um binômio, temos que somar sucesivamente:

O cubo do primeiro termo.
O produto triplo do quadrado do primeiro pelo segundo.
O produto triplo do primeiro pelo quadrado do segundo.
O cubo do segundo termino.

Assim temos:
$(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3*a ^ 2*b + 3*a*b ^ 2$ 

De onde

$(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3*a*b*(a + b)$


Agora vamos a elevar ao cubo a expressão $2^x + 2^ {-x} = 3$ para chegar a $8^x + 8^{-x}$ 

Temos que:

$2 ^ x + 2 ^{-x} = 3$  elevamos ao cubo e  obtemos seguinte expressão:

$(2 ^ x + 2 ^{- x}) ^ 3 = 3 ^ 3$


Agora vamos a desenvolver a expressão ao cubo e temos:

$(2 ^ x) ^ 3 + (2 ^{-x}) ^ 3 + 3(2 ^ x)*(2 ^{-x})*(2 ^ x + 2 ^{-x}) = 27$


Onde 

$8 ^ x + 8 ^{-x} + 3(2 ^ 0)*(2 ^ x + 2 ^ {-x}) = 27$


Como a soma de $2 ^ x + 2 ^ {-x} = 3$ temos que

$8 ^ x + 8 ^{-x } + 3*1*3 = 27$

Assim vamos a obter o valor pedido:


$8 ^ x + 8 ^ {-x} = 27 - 9$

$8 ^ x + 8 ^{ -x} = 18$