Matemática, perguntado por AninhaSylvaS2, 6 meses atrás

2) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 12 cm, o lado BC mede 16 cm e o ângulo interno formado entre os lados AB e BC medem 45°, determine a medida do lado AC.

Me ajudem na minha prova por favor S2

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

O lado AC mede $\boldsymbol{4\sqrt{25-12\sqrt{2}}}$ cm, que é ≈ 11,3 cm.

⠀

Análise

Temos um triângulo ABC, cujo lado AB = 12 cm, o lado BC = 16 cm e o ângulo interno entre AB e BC = 45º. Desejamos calcular a medida do lado AC. Sabendo disso tudo podemos até fazer uma imagem para melhor compreensão, veja em anexo feito por mim.

⠀

Dessa forma, se conhecemos dois lados desse triângulo e o ângulo entre eles, e desejamos encontrar a medida do terceiro lado, então podemos usar a Lei dos Cossenos. Essa lei nos diz que um lado ''a'' ao quadrado, que é oposto ao ângulo θ, é igual a soma dos quadrados dos dois lados ''b'' e ''c'' adjacentes ao ângulo θ, menos duas vezes o lado ''b'' vezes o lado ''c'', vezes o cosseno do ângulo θ:

$\Large\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\,\theta\end{array}}}$

(Veja em anexo um modelo feito por mim).

⠀

Resolução

Assim, correlacionando ao triângulo ABC da questão, podemos afirmar que:

AB = b = 12 cm
BC = c = 16 cm
AC = a = ?
θ = 45º (cos 45º = √2/2)

Substituindo esses dados diretamente na fórmula, obtemos:

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos\,\theta\\\\a^2=(12)^2+(16)^2-2\cdot12\cdot16\cdot cos\,45^\circ\\\\a^2=144+256-2\cdot192\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\a^2=400-192\sqrt{2}\\\\a=\sqrt{400-192\sqrt{2}}\\\\a=\sqrt{16\cdot\big(25-12\sqrt{2}\,\big)}\\\\a=\sqrt{16}\cdot\sqrt{25-12\sqrt{2}}\\\\\!\boxed{a=4\sqrt{25-12\sqrt{2}}}\end{array}}\\\\$

Portanto o lado AC mede 4√(25 - 12√2) cm, e se quiser saber o valor aproximado, é de mais ou menos 11,3 cm.

⠀

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$