Question

10. Determine a equação da circunferência com centro no ponto
(3, 2) e tangente à reta 2x+y+7=0
(3.2)
Sugestão: De acordo com a figura, o raio da circunferência é a
distância do ponto (3, 2) até a reta dada. Veja a Aula 45 para lembrar
como se calcula a distância de um ponto até uma reta.
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Answer 1

Equação reduzida da circunferência: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

• a = x do centro da circunferência;
• b = y do centro da circunferência;
• r = raio da circunferência.

Distância entre ponto e reta: $D=\dfrac{|a.x+b.y+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• a, b e c = coeficientes da equação geral da reta;
• x e y = coordenadas do ponto.

                          -x-

 Nós já temos o centro da circunferência, então só falta encontrar o raio dela para substituir na fórmula.

 Como a reta é tangente a circunferência, então a distância do centro da circunferência até a reta é o raio da circunferência, sendo assim, teremos:

$D=\dfrac{|2.3+1.2+7|}{\sqrt{2^2+1^2}}\\\\D=\dfrac{|6+2+7|}{\sqrt{4+1}}\\\\D=\dfrac{15}{\sqrt{5}}\\\\D=\dfrac{15}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt[5}}\\\\D=\dfrac{15\cdot\sqrt{5}}{5}\\\\D=3\cdot\sqrt{5}$

 Logo, o raio da circunferência é igual a 3.√5.

                      -x-

 Agora basta substituir o que temos:

$( x -a)^2 +( y -b)^2 = r^2\\( x -3)^2 +( y -2)^2 = (3\cdot\sqrt{5})^2\\(x-3)^2+(y-2)^2=9\cdot5\\(x-3)^2+(y-2)^2=45$

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