Question

01- São dados A(3 ; -1) , b(1 ; 1) e C(5 ; 5).

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo.​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Vamos calcular a medida de cada lado utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:

$D_{AB}=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

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Distância entre A( 3 ; 1 ) e B( 1 ; 1)

$D_{AB}=\sqrt{(1-3)^2+(1+1)^2} =\sqrt{(-2)^2+2^2} =\sqrt{4+4} =\sqrt{8} =\boxed{2\sqrt{2} }$

Distância entre A(3 ; 1) e C( 5 ; 5 )

$D_{AC}=\sqrt{(5-3)^2+(5+1)^2} =\sqrt{2^2+6^2} =\sqrt{4+36} =\sqrt{40} =\boxed{2\sqrt{10} }$

Distância entre B(1 ; 1 ) e C( 5 ; 5)

$D_{BC}=\sqrt{(5-1)^2+(5-1)^2} =\sqrt{4^2+4^2} =\sqrt{16+16} =\sqrt{32} =\boxed{4\sqrt{2} }$

Perímetro do triângulo ABC

$AB+AC+BC=2\sqrt{2} +2\sqrt{10} +4\sqrt{2} \\ \\\boxed{ Per\'imetro=6\sqrt{2} +2\sqrt{10} }$

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b)

Para  ABC ser um triângulo retângulo ele deve obedecer ao Teorema de Pitágoras

Quadrado da hipotenusa = soma dos quadrados dos catetos

Sendo hipotenusa o maior lado

vejamos

$(2\sqrt{10} )^2=(2\sqrt{2} )^2+(4\sqrt{2} )^2\\ \\ 4(10)=4(2)+16(2)\\ \\ 40=8+32\\ \\\boxed{ 40=40}$

Podemos concluir que ele é um triângulo retângulo.